Квадратні нерівності. Методи розвязання.

Квадратні нерівності мають вигляд ax² + bx + c ≥ 0, ax² + bx + c ≤ 0
які рішення щільно пов’язані з розв’язанням квадратних рівнянь, тому ці дві теми щільно перегукуються друг з одним.
Вирішити квадратну нерівність – це означає знайти такі проміжки на графіку функції, в яких виконувалася б умова цієї нерівності (тобто такі, де ліва частина виразу більша або менша за нуль).

Квадратні нерівності на графіку
Графік функції є параболою, гілки якої можуть бути спрямовані вгору або вниз. Напрямок гілок залежить від знака коефіцієнта а у виразі (при а > 0 гілки спрямовані вгору, а < 0 – вниз).
Розташування самої параболи щодо осі абсцис залежить від знака дискримінанта (при D>0 парабола перетинає графік у двох точках, при D=0 – в одній точці, при D<0 не перетинає зовсім, проте це не означає, що у нерівності обов’язково немає рішення! Далі пояснимо докладніше).

На практиці школярів часто вчать завжди наводити нерівності до такого виду, щоб значення першого коефіцієнта (а) було позитивним, проте ми рекомендуємо розглянути всі 6 варіантів графіка для того, щоб “відчувати” його, а не просто механічно зазубрити.

Алгоритм розв’язання квадратної нерівності

Існує один базовий алгоритм розв’язання квадратних нерівностей, проте для його застосування потрібно вирішити квадратне рівняння, а це вже може бути виконано безліччю різних способів.
Докладніше можна почитати у цій статті.
Отже, для вирішення необхідно виконати такі кроки:
1. Наводимо нерівність до виду ax² + bx + c ≤≥ 0, якщо в ньому були нерозкриті дужки, подібні до членів і так далі. Над ним можна виконувати такі ж дії, як і над рівнянням (переносити складені з лівої частини в праву, домножувати весь вираз на той самий коефіцієнт і т.д., однак пам’ятайте, що при домноженні на негативний коефіцієнт, знак нерівності змінюється на проти – Складний).
2. Вирішуємо рівняння ax² +bx+c = 0 будь-яким способом і знаходимо його корені. Якщо рівняння немає коренів, все одно продовжуємо виконувати такі кроки.
3. Звіряємо знайдене коріння з ОДЗ, якщо воно є (“чиста” квадратна нерівність не має ОДЗ, проте якщо ви привели нерівність іншого виду до квадратного, то ОДЗ може виникнути).
4. Малюємо числову вісь (вісь абсцис) і відзначаємо на ній знайдене коріння (якщо у рівняння немає коріння, не відзначаємо нічого).
5. Дивимося на знак дискримінанта та коефіцієнта а, малюємо відповідно ним графік (графік матиме один із 6 видів з малюнка на початку статті). Точки перетину параболи повинні збігатися зі знайденим корінням рівняння.
6. Отримуємо готовий графік параболи, яка перетинає числову вісь у двох або одному місці (або зовсім не перетинає).
7. Тепер звертаємо увагу на вихідну нерівність. Якщо воно має вигляд ax² + bx + c ≥ 0, то нам потрібно знайти проміжки на графіку, в яких парабола лежить вище за осі абсцис (тобто функція набуває позитивних значень). Якщо ж нерівність має вигляд ax² + bx + c ≤ 0, нам, відповідно, потрібно буде знайти область на графіку, де парабола лежить нижче за осі абсцис (тобто функція набуває негативних значень).

Відповідно, навіть якщо при вирішенні рівняння з пункту 2 ви виявили, що воно не має речових коренів, нерівність все одно може виконуватися. Відповіддю буде або безліч R (тобто всі речові числа), або нерівність не матиме жодних рішень.

Приклад
Для кращого розуміння вищеописаного алгоритму давайте розберемо приклад розв’язання однієї нерівності з детальним графіком.
Візьмемо, наприклад, таку квадратну нерівність: −5x² −15x+50≥0.
Пройдемо всі кроки з алгоритму:
1. x² + 3x − 10 ≤ 0. (Домножили вираз на – 15 , при цьому знак змінився).
2. Вирішуємо рівняння x² + 3x − 10 = 0 через теорему Вієтта. Методом підбору визначаємо, що х₁ = -5; x= 2
3. Звіряємо знайдене коріння з ОДЗ – у цьому випадку сторонніх коренів немає.
4. Малюємо числову вісь (вісь абсцис) та відзначаємо на ній знайдені -5 та 2.
5. Оскільки рівняння має два корені, а коефіцієнт а більший за нуль, графік фукнції має вигляд параболи, гілки якої перетинають вісь OX у двох місцях і спрямовані вгору.
6. Розуміємо, що відповідь лежить у проміжку між -5 та 2.
Отже, відповідь виглядає так: x ∈ [-5;2].

Завдання такого плану дуже часто зустрічаються на ЗНО з математики.

Якщо тобі потрібна допомога в підготовці до ЗНО, буду рада тебе бачити на моїх курсах.
Щоб записатися на курс, переходь по посиланню та обирай “PRO”, або просто напиши нам тут чи в інстаграм.

Телеграм:  https://t.me/mathwise
Інстаграм: https://www.instagram.com/math.wise/
ТікТок:  https://www.tiktok.com/@math.wise
YouTube: https://www.youtube.com/channel/UC43lnBg_DPdb9WsOEGuIbQg